演算法提高快速冪（快速冪演算法詳解）

問題描述

給定a, b, p，求(a^b) mod p。

輸入格式

輸入共一行。

第一行有三個數，n, m, p。

輸出格式

輸出共一行，表示所求。

樣例輸入

2 5 3

樣例輸出

資料規模和約定

共10組資料

對100%的資料，a, b為long long範圍內的非負整數，p為int內的非負整數。

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求乙個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。

演算法1.首先直接地來設計這個演算法：

#include #include using namespace std;

int main()
ans=ans%n;
cout<
這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為o（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。
我們先來看看第乙個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣乙個公式：
(a * b) mod n=(a mod n * b mod n) mod n
於是不用思考的進行了改進：
演算法2：
#include #include using namespace std;
int main()
ans=ans%n;
cout<
既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。
演算法3：
#include #include using namespace std;
int main()
ans=ans%n;
cout<這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為o(b)，不過已經好很多的，但是在資料量過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。
快速冪演算法依賴於以下明顯的公式：
1.如果b是偶數，我們可以記k = (a^2) mod n，那麼求(k^(b/2)) mod n就可以了。
2.如果b是奇數，我們也可以記k = (a^2) mod n，那麼求((k^(b/2) )mod c × a ) mod n就可以了。
演算法4：
#include #include using namespace std;
int main()
ans=ans%n;
cout<我們可以看到，我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod n時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為k^(b/2) mod c而不是原來的(a^b) mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代。
當b是奇數時，我們通過ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在o（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。
演算法5：快速冪演算法
#include #include using namespace std;
int main()
cout<
將上述的**結構化，也就是寫成函式：
#include #include using namespace std;
int powermod(long long a, long long b, int n)
; return ans;
}int main()

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