快速冪 快速冪取模

快速冪是優化的冪運算演算法。

快速冪取模是快速冪+同餘定理。

一、暴力冪運算

考慮計算 311，可以讓3累乘11次，複雜度是o(n)

int

pow1
(int a,
int b)
intmain()

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以 311 舉例。把指數11寫成二進位制形式是1011，所以

11 = 23 + 0 × 22 + 21 + 20

所以 311 又可以寫成：

311 =3^ (23 + (0 × 22) + 21 + 20)

拆括號得：

311 = 38 × (0 × 34) × 32 × 31

可以發現乘法因子是以平方的形式增長的，比如 32 等於 31 的平方，38 等於 34 的平方。

由此規律，可以寫出快速冪演算法了。

我們先定義乙個ans=1來儲存答案，然後從低到高遍歷指數b的每乙個二進位制位，同時我們讓底數a隨著迴圈每次做乙個平方，a, a2, a4, a8,…。

可以寫出快速冪的框架：

int

pow(
int a,
int b)
return ans;
}

#include

using
namespace std;
intpow
(int a,
int b)
return ans;
}int
main()

三、快速冪取模

快速冪取模可以用來解決 「1145141919810 除以6的餘數等於多少」或者是「230的後6位是多少」之類的問題。它是在快速冪的基礎上，結合了同餘定理。

#include

using
namespace std;
intpow
(int a,
int b,
int c)
return ans;
}int
main()

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