給出平面上 n 個點，唯一確定乙個多項式（次數小於等於 n-1 ），並給乙個值求 f(k
)f(k)
f(k)
mod 998244353
根據線性代數裡的結論，從 n 個點得到的 f(x) 可以如下表示
f (x
)=∑i
=1ny
i×∏j
=1,j
≠inx
−xjx
i−xj
f(x)=\displaystyle\sum_^ y_i × \displaystyle\prod_^ \over }
f(x)=i
=1∑n
yi
×j=1
,j
=i∏n
xi
−xj
x−xj
其中 x−x
jxi−
xj
\displaystyle \over }
xi−xj
x−x
j 被稱作插值基，容易驗證將某個給出的點（n個點中的某個點）帶入（定為m）時：
x m=
xi
x_m=x_i
xm=xi
時，該插值基的值為1
x m≠
xi
x_m≠x_i
xm=
xi時，分子上有一項是0，該插值基的值為0.
這就驗證了 f(x) 過這 n 個點
計算過程比較簡單，直接帶入即可，複雜度 o(n
2)
o(n^2)
o(n2)
值得一提的是因為每一項都有乙個大分母，並且還要取模，不難想到需要求分母的乘法逆元。
取模數是個質數，就可以採用費馬小定理求逆。
當 p 是質數時，ap≡
a(mo
dp
)a ^p\equiv a(modp)
ap≡a(m
odp)
，或者說ap−
1≡1(
modp
)a ^\equiv 1(modp)
ap−1≡1
(mod
p)，後者進行拆分：
a p−
2×a≡
1(mo
dp
)a ^×a\equiv 1(modp)
ap−2×a
≡1(m
odp)
就發現了 ap−
2%
pa^ \% p
ap−2%p
是 aa
a 的乘法逆元，當p為質數
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
#define mod 998244353
inline
long
long
power
(long
long a,
long
long b,
long
long p)
//a^b mod p
return ans;
}long
long x[
2005
], y[
2005
], k, n;
long
long
lagrange
(long
long n,
long
long k)
} ans +
= y[i]
* up % mod *
power
(under, mod -
2, mod)
% mod;
ans %
= mod;
}return
(ans+mod)
%mod;
}int
main()
P4781 模板 拉格朗日插值
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