尤拉函式入門

在數論，對正整數n，尤拉函式是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目

φ（x）=x∏i=

1n(1

−1pi

)\prod_^n)}

∏i=1n​

(1−p

i​1​

) (其中p1, p2……pn為x的所有質因數)

我覺得網上許多部落格的證明不太嚴謹，我嚴格證明一下

首先明白兩個性質

1：當n=p

kp^k

pk(且p是質數的情況下) φ（n）=p

kp^k

pk- p k−

1p^

pk−1

因為顯然n的質因子只有乙個就是p，那麼1-n中不和他互素的就是因子含有p的數即 p×1,p×2,p×3… p×pk−

1p^

pk−1

即總共有pk−

1p^

pk−1

個數，而總數有pkp^

pk，那麼結果就是pkp^

pk-p k−

1p^

pk−1

2：尤拉函式是積性函式，但不是完全積性函式。若m,n互質，則φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，這個我不會證明，直接看維基百科的證明吧：證明：設a, b, c是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，a×b×c可建立雙射(一一對應)的關係

而x=p1k

1^

p1​k1​

×p 2k

2^

p2​k2​

×p 3k

3^

p3​k3​

…p nk

n^

pn​kn​

φ（x）=(p1k

1^

p1​k1​

- p 1k

1−

1^-1}

p1​k1​

−1)(p 2k

2^

p2​k2​

- p 2k

2−

1^-1}

p2​k2​

−1)…(pnk

n^

pn​kn​

- p nk

n−

1^-1}

pn​kn​

−1)=x∏i=

1n(1

−1pi

)\prod_^n)}

∏i=1n​

(1−p

i​1​

)1：對於質數p，φ ( p )=p−1。顯然

2：…還有一些其他性質，暫時不要用到，先不再學習

複雜度是n×n

2\sqrt[2]

2n​

#include

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fi first
#define se second
#define debug printf("i am here\n");
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxn=
3e5+
5,inf=
0x3f3f3f3f
,mod=
998244353
,lim=
1e7+
5e6;
const ll inf=
0x3f3f3f3f3f3f3f3f
;int t,n;
inteuler
(int x)}}
if(x!=1)
return ans;
}int
main()
return0;
}

void

euler
(int n)
for(
int i=
2;i<=n;i++)}
}}

前提是要懂尤拉篩。每個數被最小的因子篩掉的同時，再進行判斷。i表示當前做到的這個數，prime[j]表示當前做到的質數，那要被篩掉的合數就是i*prime[j]。若prime[j]在這個合數里只出現一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互質時，則根據尤拉函式的積性函式的性質，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在這個合數里出現了不止一次（i%prime[j]=0），也就是這個合數的所有質因子都在i裡出現過，那麼根據公式，φ(i * prime[j])=prime[j] * i *∏i=

1n(1

−1pi

)\prod_^n)}

∏i=1n​

(1−p

i​1​

) 。複雜度為o(n)。

還是看**吧：

void

euler
(int n)
for(
int j=
1;j<=num&&prime[j]
*i<=n;j++
)//經典的尤拉篩寫法 
else}}
}

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