詳解CDQ演算法

在解釋cdq演算法之前， 首先回顧演算法中非常經典的分而治之。

divide and conquer(分而治之)

分而治之是電腦科學中非常經典的思想， 通常會把乙個比較複雜的大問題， 分成兩個（或多個）子問題， 分別遞迴分而治之去解決這些子問題， 最後把子問題的結果合併為原問題的解。

歸併排序：

歸併排序有以下幾個步驟

把陣列分成做左區間和右區間

分別對左區間和右區間進行歸併排序

把左區間和右區間的排好序的陣列合併成乙個有序的陣列

**如下

void merge(vector&arr, vector&tmp, int l, int m, int r) 

while (i <= m)
tmp[p++] = arr[i++];
while (j <= r)
tmp[p++] = arr[j++];
for (i = 0, j = l; i < p; )
arr[j++] = tmp[i++];
}void mergesort(vector&arr, vector&tmp, int l, int r) 
}

在二分排序中， 左區間[l, mid]對右區間[mid + 1, r]是沒有影響的， 但是有些時候， 左區間對右區間有影響， 著這樣的時候， 使用cdq分治能夠很好地解決問題。

cdq分治：

劃分問題為左右區間， [l, mid]和[mid + 1, r]

分別解決左區間和右區間的子問題

計算左區間對右區間的影響

合併左右區間得到原問題的解。

下面看一些cdq演算法實戰的例子吧。

題目描述：

解題思路：

首先， 把逆序對問題轉為成2維的問題， 對於陣列中的每乙個數都可以用二維座標系的座標來表示， （id, number）, id代表這個數字是第id個數， number代表這個數字的大小是多少。

比如陣列[1, 5, 3, 4, 2]

就可以表示為(1, 1) (2, 5) (3, 3) (4, 4) (5, 2)

如上圖所示

逆序對的數量=每個點左上角的點數之和

比如在當前圖中， a，b左上角沒有點， c有乙個b， d有乙個b， e有bcd， 因此一共有5個逆序對。

如果是求動態逆序對， 需要在這張圖上動態刪除點， 我們可以把所有新增， 刪除和統計逆序對的操作抽象成兩種操作。

結構體如下

struct oper

仔細思考， 可以發現， 只有id小且x和y小的操作1才會對後面id大， x, y大的操作2有影響， 操作1，2內部不會有影響， 因此可以採用分治的思路去解決問題， 按照id分成左右區間。

使用cdq思路， 解決問題的方法如下

把oper按照x, y, id的順序排序

劃分為[l, mid] [mid + 1, r]

按照id二分， 統計左區間對右區間答案的影響

cdq(l, mid) cdq(mid + 1, r)分別解決兩個子問題。

**：

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;

typedef long long ll;
const ll kmaxn = 1e5 + 5;
const ll kmaxm = 5e4 + 5;
ll ans[kmaxm];
ll number[kmaxn], pos[kmaxn];
ll n, m;
struct oper 
};oper oper_list[kmaxn * 4], tmp_oper[kmaxn * 4];
ll id_count;
ll tree_arr[kmaxn];
void add(ll x, ll y) 
}ll get_sum(ll x) 
return ans;
}void read() ;
} for (int i = 1; i <= n; i++)
add(i, -1);
for (int i = 1; i <= m; i++) ;
++id_count;
oper_list[id_count] = ;
++id_count;
oper_list[id_count] = ;
++id_count;
oper_list[id_count] = ;
}}void cdq(ll l, ll r) 
for (ll i = l; i <= r; i++)
if (oper_list[i].id <= mid && oper_list[i].type == 1)
add(oper_list[i].y, -oper_list[i].fac);
ll tl = l, tr = mid + 1;
for (ll i = l; i <= r; i++) 
for (ll i = l; i <= r; i++)
oper_list[i] = tmp_oper[i];
cdq(l, mid);
cdq(mid + 1, r);} 
void solve() 
}int main() 

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