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從微積分基本定理中可以看出，其中比較重要的是怎麼求不定積分。雖然我們有基本不定積分表，但是對某些特殊的不定積分，它並沒有告訴我們該如何去做。比如下面這個不定積分
p.s. 為了求這個積分，我們需要使用乙個策略，即「引入額外的東西」，這裡的「額外的東西」指的是乙個新的變數；我們把變數
換成新的變數
. 想象令變數
. 那麼
的微分就是
. 因此，上式可以被改寫成
接下來，我們使用函式求導法則（b-30 復合函式的求導法則（又稱鏈式法則））對上述結果驗證一下。即
把上述方法一般化，也就是如下這個規律了,我們稱之為換元法。
若例題求是乙個可微分的函式，它的值域
，且函式
在 上連續，那麼有
解答我們令
，那麼
，即有
，於是所有式子就變成了
注意在最後一步中，我們又把變數由
換回了
。其實，換元的目的就是把乙個較為複雜的積分，變成了乙個較為簡單的積分。如將上式中較為複雜的
，變成了較為簡單的
。使用換元法的主要困難是找到乙個合適的換元策略。將
作為被積函式中的某一部分函式時，它的微分最好也會出現在被積函式中，這就例1中的情況。如果這種操作有困難，就需要在被積函式中換另一部分函式換元，換元是一門兒藝術，如果換元後行不通，就多次嘗試幾次也許就會成功。
例題計算
解答正如剛才所說，換元的方式可能各不相同，難易程度上也有差別，有些換元甚至沒法進行下去。下面我們採用兩種方式計算本題。
方法1令
，那麼它的微分
,即有
，那麼題給式子就變成了
方法2令
，那麼它的微分
，即有
,那麼題給積分就可以寫成
例題求
解答令
，那麼它的微分
,即有
,那麼，所求積分就可以寫成
例題求
解答如果我們把
看成 ，那麼我們不妨令
,這樣它的微分就是
，即有
。又因為
，那麼
。這樣，所求積分就可以寫成
如果遇到求定積分，那麼它換元法思路和不定積分一樣。只不過，這個時候需要改變一下原定積分的上下限為新變數的上下限。我們看下面這兩個例子。
例題計算
解答令
，那麼它的微分
,即有
，為了得到新的積分上下限，則有，當
時， ;當
時， 。那麼上述定積分就變成了
例題 計算
解答 令
，那麼
，即有
。且當
時， ；當
時， 。因此上述定積分就可以寫成
好啦，今天的換元法就講到這裡。這個技巧需要多練才能掌握，所以，對計算有要求的同學，可以找點相關題目練一練。
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