數值計算拉格朗日一維插值的求解

matlab計算浮點數是有誤差的

p1=[0 1];

theta=logspace(-20,5,1000); %這裡是取對數刻度，取1000個數

p2=[theta theta+1];

y=2;

xex=1;%實際上y=2和p1，p2點組成的直線相交點的橫座標是1

xnum=theta./(1+theta-1);%這個是用matlab算出來的這兩條線交點的橫座標

x=abs(xex-xnum);

x2=2*10^(-16)./((2*10^(-16)+theta));%matlab機器雙精度浮點數e=2x10^-16

x3=abs(-2*10^(-16)./((theta-2*10^(-16))));

loglog(theta,x,'b'),hold on%畫圖，雙對數刻度圖

loglog(theta,x2,'g:'),hold on

loglog(theta,x3,'r--')

grid on

拉格朗日插值法的應用：

先求出基本多項式，再通過插值方法求出p的值；基本多項式的公式看課件上給的

function wert_basis=lagrangebasis(x,n,i,x_node)%x是要求的值，x_node是給的點

for i=1:i
s=1;
%y=[1 1];
for j=1:n+1 %n=length(x_node)-1
if j~=i
s=s*(x-x_node(j))/(x_node(i)-x_node(j));%累乘
% 為什麼要用s代替y,因為s=乙個值，這個變數不需要宣告，但是s=s*s時第乙個s不宣告系統無法識別第乙個s。
% y(j)=y(j)*(x-x_node(k))/(x_node(j)-x_node(k));
endend
wert_basis(j)=s;
end

function [y] = lagrangepolynom(x,n,x_node,y_node)

lp=0
for i=1:n+1
bs=1
for j=1:n+1
if not(j==i)
bs=bs*(x-x_node(j))./(x_node(i)-x_node(j));
endend
lp=lp+y_node(i)*bs %累加
endy=lp
end%還可以呼叫前面的求基本多項式的函式求
function [y1] = lagrangepolynom1(x,n,x_node,y_node)
l=0for i=1:n+1
y=lagrangebasis(x,n,i,x_node)
l=l+y*y_node(i)
endy1=l
end

首先是對基本多項式求導，這個式子要從內往外看，這個公式看課件裡面給了，寫的**也是

function dl = lagrangederivbasis(x,n,i,x_node)

for i=1:i
dbs=0
for m=1:n+1
if m~=i
p=1;
for k=1:n+1
if k~=i && k~=m
p= p*(x-x_node(k))/(x_node(i)-x_node(k));
endend
dbs=dbs+1/(x_node(i)-x_node(m))*p;
endend
dl=dbs; 
endend
%按照圖裡面的公式，要有i，m，k都是從1取到n+1，其實i和n的值給乙個就夠了，i=1:n+1

function [dy] = lagrangederivpolynom(x,n,x_node,y_node)

dl=0
for i=1:n+1
y=lagrangederivbasis(x,n,i,x_node)
dl=dl+y*y_node(i)
enddy=dl
end

clear;

x=0:0.005:4;x3=[0 1 2 3 4];y3=(x3./(1+x3)).^5;dy=5*(x.^4)./((1+x).^6);y=(x./(1+x)).^5;
for a=1:length(x)
wert_poly2(a)=lagrangepolynom(x(a),80,x3,y3,lagrangebasis(x(a), 4, 5, x3));
wert_dpoly2(a) = lagrangederivpolynom(x(a),80,x3,y3,lagrangederivbasis(x(a), 4, 5, x3));
endscatter(x3,y3,'filled','k'),hold on%在向量x和y指定的位置建立乙個包含圓形的散點圖，填充圓形，指定顏色
plot(x,wert_poly2,'b'),hold on
plot(x,wert_dpoly2),hold on
plot(x,y),hold on
plot(x,dy),hold on
axis([0 4 -0.05 0.35])
legend('stützstellen','polynom p4','earst ableitung polynom p4','exakt function f(x)','exakt function df(x)/dx','location','northwest')

拉格朗日插值

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