多源最短路 Floyd演算法

問題的提出：已知乙個有向網（或者無向網），對每一對定點vi!=vj，要求求出vi與vj之間的最短路徑和最短路徑的長度。

解決該問題有以下兩種方法：

（1）輪流以每乙個定點為源點，重複執行dijkstra演算法或者bellman-ford演算法n次，就可以求出每一對頂點之間的最短路徑和最短路徑的長度，總的時間複雜度為o(n^3)。

（2）採用floyd演算法，時間複雜度也是o(n^3)，但是形式更為直接。

1.介紹

floyd演算法只有五行**，**簡單，三個for迴圈就可以解決問題，所以它的時間複雜度為o(n^3)，可以求多源最短路問題。

2.思想：

floyd演算法的基本思想如下：從任意節點a到任意節點b的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從a到b，2是從a經過若干個節點x到b。所以，我們假設dis(ab)為節點a到節點b的最短路徑的距離，對於每乙個節點x，我們檢查dis(ax) + dis(xb)

舉個例子：已知下圖，

如現在只允許經過1號頂點，求任意兩點之間的最短路程，只需判斷e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是從i號頂點到j號頂點之間的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是從i號頂點先到1號頂點，再從1號頂點到j號頂點的路程之和。其中i是1~n迴圈，j也是1~n迴圈，**實現如下。

1
for(i=1; i<=n; i++)
28 }

接下來繼續求在只允許經過1和2號兩個頂點的情況下任意兩點之間的最短路程。在只允許經過1號頂點時任意兩點的最短路程的結果下，再判斷如果經過2號頂點是否可以使得i號頂點到j號頂點之間的路程變得更短。即判斷e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，**實現為如下。

1
//經過1號頂點
2for(i=1; i<=n; i++)
3for(j=1; j<=n; j++)
4if (e[i][j] > e[i][1]+e[1
][j]) 
5 e[i][j]=e[i][1]+e[1
][j];6//
經過2號頂點
7for(i=1; i<=n; i++)
8for(j=1; j<=n; j++)
9if (e[i][j] > e[i][2]+e[2
][j]) 
10 e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];

最後允許通過所有頂點作為中轉，**如下：

1
for(k=1; k<=n; k++)///
floyd-warshall演算法核心語句211
}12}13 }

這段**的基本思想就是：最開始只允許經過1號頂點進行中轉，接下來只允許經過1和2號頂點進行中轉……允許經過1~n號所有頂點進行中轉，求任意兩點之間的最短路程。與上面相同

3.**模板：

1 #include 2
#define inf 0x3f3f3f3f
3int map[1000][1000];4
intmain()517
}18inta,b,c;
19for(i=1; i<=m; i++)///
有向圖20
24for(k=1; k<=n; k++)///
floyd-warshall演算法核心語句
2534}35
}36}37
for(i=1; i<=n; i++)///
輸出最終的結果,最終二維陣列中存的即使兩點之間的最短距離
3843 printf("\n"
);44}45
return0;
46 }

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