P2764 最小路徑覆蓋問題網路流題之一

«問題描述：

每條邊的容量均為1。求網路g1的（ 0 x , 0 y ）最大流。

«程式設計任務：

對於給定的給定有向無環圖g，程式設計找出g的乙個最小路徑覆蓋。

輸入格式：

件第1 行有2個正整數n和m。n是給定有向無環圖g 的頂點數，m是g 的邊數。接下來的m行，每行有2 個正整數i和j，表示一條有向邊(i,j)。

輸出格式：

從第1 行開始，每行輸出一條路徑。檔案的最後一行是最少路徑數。

輸入樣例#1：

11 12

1 21 3

1 42 5

3 64 7

5 86 9

7 10

8 11

9 11

10 11

輸出樣例#1：

1 4 7 10 11

2 5 8

3 6 9

1<=n<=150,1<=m<=6000

由@zhouyonglong提供spj

ｓｏｌｕｔｉｏｎ：

先簡單的解釋一下最小路徑覆蓋：大致就是在乙個有向無環圖中，用最少多少條簡單路徑能將所有的點覆蓋（簡單路徑簡單來說就是一條路徑不能和其他路徑有重複的點，當然也可以認為單個點是一條簡單路徑）。

仔細思考，容易發現有些類似於二分圖匹配的問題，異曲同工。

演算法：把原圖的每個點v拆成v

x'>vx和vy

'>vy

兩個點，如果有一條有向邊a->b，那麼就加邊ax−

>by

'>ax−>by

。這樣就得到了乙個二分圖。那麼最小路徑覆蓋=原圖的結點數-新圖的最大匹配數。

證明：一開始每個點都是獨立的為一條路徑，總共有n條不相交路徑。我們每次在二分圖里找一條匹配邊就相當於把兩條路徑合成了一條路徑，也就相當於路徑數減少了1。所以找到了幾條匹配邊，路徑數就減少了多少。所以有最小路徑覆蓋=原圖的結點數-新圖的最大匹配數。

因為路徑之間不能有公共點，所以加的邊之間也不能有公共點，這就是匹配的定義。

方法一：二分圖匹配。綜合上述所說的，我們可以直接建圖，然後跑匈牙利演算法，輸出的話只需將所匹配的點依次輸出就ｏｋ了。

**（ｃｏｐｙ乙份）：

1 #include 2
using
namespace
std; 
3 typedef long
long
ll; 
4const
int maxn = 305
; 5
const
int maxm = 20005
; 6
struct
edge 
7e[maxm], *h[maxn], *edges; 
11int
res[maxn]; 
12int
vis[maxn]; 
13void addedges(int u, int
v) 
14 
19void
init() 
20 
25bool find(int
u) 
26 
34} 
35return
false
; 36
} 37
intn, m; 
38 vectorans; 
39int
to[maxn]; 
40void
work() 41 
47int result = 0
; 48
for(int i = 1; i <= n; i++) 
52 memset(to, 0, sizeof
to); 
53for(int i = 1; i <= n; i++) if(res[i] != -1) to[res[i]] =i; 
54for(int i = 1; i <= n; i++) if(res[i] == -1
) 
62for(int j = 0; j < ans.size(); j++) printf("
%d%c
", ans[j], j == ans.size() - 1 ? '
\n' : '
'); 
63} 
64 printf("
%d\n
", n -result); 
65} 
66int
main() 
67

方法二：網路最大流。這裡的做法和二分圖匹配用最大流的做法是一樣的。附加炒雞源ｓ和炒雞匯ｔ，然後建圖（邊權為１），最後跑最大流，輸出時方法很多，我選擇的是從匯點按殘餘流量的有無來往前找一條路徑並遞迴輸出。

**（手打ｄｉｎｉｃ）：

1 #include2
#define il inline
3using
namespace
std;
4const
int n=1000,inf=23333333;5
int n,m,s,t=520,h[n],dis[n],cnt=1
,fa[n];
6struct
edgee[100005
];9 il void add(int u,int v,int
w)10
14 queueq;
15 il bool
bfs()
1625
return dis[t]!=-1;26
}27 il int dfs(int u,int
op)2843}
44if(!flow)dis[u]=-1;45
return
flow;46}
47 il void print(int
x)48
54int
main()
5565
int ans=n;
66while(bfs())ans-=dfs(s,inf);
67for(int i=h[t];i;i=e[i].net)
6872 printf("%d"
,ans);
73return0;
74 }

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