最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找資料的最佳函式匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的資料，並使得這些求得的資料與實際資料之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。
最小二乘法原理
在我們研究兩個變數(x, y)之間的相互關係時，通常可以得到一系列成對的資料( x1, y1. x2, y2. … xm , ym )；將這些資料描繪在x -y直角座標系中，若發現這些點在一條直線附近，可以令這條直線方程如(式1-1)。
y計= a0 + a1 x (式1-1)
其中：a0、a1 是任意實數
為建立這直線方程就要確定a0和a1，應用 最小二乘法原理 ，將實測值yi與利用(式1-1)計算值(y計=a0+a1x)的離差(yi-y計)的平方和〔∑(yi - y計)2〕最小為「優化判據」。
令： φ = ∑(yi - y計)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(yi - a0 - a1 xi)2 (式1-3)
當∑(yi-y計)平方最小時，可用函式 φ 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等於零。
亦即：
m a0 + (∑xi ) a1 = ∑yi (式1-6)
(∑xi ) a0 + (∑xi
2 ) a1 = ∑(xi, yi) (式1-7)
得到的兩個關於a0、 a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：
a0 = (∑yi) / m - a1(∑xi) / m (式1-8)
a1 = [m∑xi yi - (∑xi ∑yi)] / [m∑xi
2 - (∑xi)2 )] (式1-9)
這時把a0、a1代入(式1-1)中， 此時的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即：數學模型。
在回歸過程中，回歸的關聯式是不可能全部通過每個回歸資料點( x1, y1. x2, y2. … xm , ym ),為了判斷關聯式的好壞，可借助相關係數「r」，統計量「f」，剩餘標準偏差「s」進行判斷；「r」越趨近於 1 越好；「f」的絕對值越大越好；「s」越趨近於 0 越好。
r = [∑xiyi - m (∑xi / m)(∑yi / m)]/ sqr (式1-10) *
在(式1-1)中，m為樣本容量，即實驗次數；xi、yi分別任意一組實驗x、y的數值。
最小二乘法
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最小二乘法
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