注：下文若不宣告，統一為三維向量。
定義：一般地，向量為一條從原點出發的一條有向線段。
通過終止點的座標來表示： \(\beginx\\y\\z\end\)
性質：加法：\(\vec+\vec=\beginx_1\\y_1\\z_1\end+\beginx_2\\y_2\\z_2\end=\begin x_1 +x_2\\y_1 + y_2\\z_1 + z_2\end\)
可以把向量視為從起點到終點的運動，則加法的結果與原來的運動效果是一樣的。
將它們平移使得 \(\vec\) 和 \(\vec\) 首尾相接，則加法之後的向量的終點即為平移後路徑的終點。
數乘：\(k\vec=\beginkx\\ky\\kz\end\)
即向量 \(\vec\) 乘 \(k\) 為在向量的每一維乘 \(k\) 。
可以視為將 \(\vec\) 代表的線段伸縮 \(k\) 倍，其中，當 \(k<0\) 時，向量方向相反，長度相同。
線性組合：
\(\vec\) 和 \(\vec\) 的線性組合為：\(a\vec+b\vec\)
這是在向量的加法和數乘基礎之上的。
可以發現的是，大部分情況下， \(\vec\) 和 \(\vec\) 的線性組合可以到達三維空間中的所有點，但有幾種特殊情況：
\(1.\) 其中乙個向量處在另外兩個向量所形成的平面中，這時，只能到達這個平面中的點。
\(2.\) 其中兩個向量處在另外乙個向量所形成的線上，這時，只能到達這個線段中的點。
對於第 \(1\) 種情況，即為乙個向量可以被其他向量線性組合表示出來。
對於第 \(2\) 種情況，同理。
把 \(\vec\) 和 \(\vec\) 線性組合所構成的向量集合成為張成的空間。
當一組向量中，至少有乙個向量能被其他向量表示出來，則稱其為線性相關，否則，稱為線性無關。
基向量：
描述每乙個維度的單位向量。
例：三維向量中的基向量為：\(\vec\) , \(\vec\) 和 \(\vec\) ，各代表 \(x\) ，\(y\) 和 \(z\) 軸向量對應的長度。
可以發現，在基向量所能張成的空間中，所有向量都可以由基向量的線性組合所表示。
秩：最大線性無關組的向量數。
行秩 \(=\) 列秩。
當矩陣線性無關時，稱做滿秩。
線性變換：
最通俗的說法：輸入乙個向量，輸出乙個向量。
由基向量的性質，可以直到，給出原始向量，基向量線性變換後的位置，就可以求出原始向量線性變換後的位置。
可以把向量 \(\vec\) ，\(\vec\) 和 \(\vec\) 按列組合成乙個矩陣，稱作變換矩陣（從右到左，於初始列向量相乘，就得到線性變換後的初始向量，
復合線性變換：
當有多個變換矩陣時，它們具有結合律，即：
\((ab)c=a(bc)\)
如果直接算，很麻煩，可以通過變換矩陣的從右到左的運算順序求解。
那麼可以將其合併為乙個變換矩陣。
行列式：
符號：\(\det\) 。
線性變換後，向量 \(\vec\) 和 \(\vec\) 所形成的平行四邊形的面積放縮比例。
在二維平面中，基向量 \(\vec\) 和 \(\vec\) 所組成的正方形面積為 \(s_1\) ，線性變換後，\(\vec\) 和 \(\vec\) 所組成的平行四邊形的面積為 \(s_2\) ，則 \(\det\) 為 \(\dfrac\) 。
二維平面的行列式 \(\det\begina&b\\c&d\end=ad-bc\) 。
其中，\(\vec=\begina\\c\end\) ，\(\vec=\beginb\\d\end\) 。
證明：考慮將 \(\vec\) 和 \(\vec\) 形成的平行四邊形補成矩形，長為 \(a+b\) ，寬為 \(c+d\) 。
\(\det\begina&b\\c&d\end=(a+b)(c+d)-2\dfrac-2\dfrac-2bc=ad-bc\) 。
對於任何矩陣的行列式，當 \(\det a=0\) 時，代表 \(a\) 是線性相關的。
點積：\(\vec\cdot \vec=\sum\limits_v_i\cdot w_i\)
由對偶性可以證明。
也可以將其視為從多維向量變成一維向量的線性變換，也即矩陣向量乘法。
目前只看到了點積部分，叉積以及後面的部分等看完了再補上來。
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