在人臉表情動畫的研究中，大部分工作都是通過採集每一時刻的面部運動資料，並求出該資料在表情基中的線性組合。而這個計算問題是乙個典型的二次規劃問題，如下面的式子所示。
通過上述問題求出的結果（即每個表情基對應的權重）作用與各個表情基上就能實現逼真的表情動畫了，而求解二次規劃的方法有很多，下面重點介紹有效集方法的理論並進行相應的**實現。
一般的二次規劃的形式如下：
下面是matlab實現的有效集解法：
function [x,lamk,exitflag,output]=qpact(h,c,ae,be,ai,bi,x0)
% 功能: 用有效集方法解一般約束二次規劃問題:
% min f(x)=0.5*x'*h*x+c'*x,
% s.t. a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l),
% a'_i*x-b_i>=0,(i=l+1,...,m)
%輸入: x0是初始點, h, c分別是目標函式二次型矩陣和向量；
% ae=(a_1,...,a_l)', be=(b_1,...,b_l)';
% ai=(a_,...,a_m), bi=(b_,...,b_m)'.
%輸出: x是最優解， lambda是對應的乘子向量；output是結構
% 變數, 輸出極小值f(x), 迭代次數k等資訊, exitflag是演算法終止型別
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 初始化
%epsilon 是乙個很小的數，用於輔助不等式判斷，
%如在進行 >= 的判斷時，往往是 x>=b+epsilon，err也是乙個類似的量
epsilon=1.0e-9; err=1.0e-6;
k=0; x=x0; %k為迭代次數，x0為初始點
n=length(x); kmax=1.0e3; %kmax最大迭代次數
ne=length(be); ni=length(bi); lamk=zeros(ne+ni,1);
index=ones(ni,1);
for (i=1:ni)
if(ai(i,:)*x>bi(i)+epsilon), index(i)=0; end
end%演算法主程式
while (k<=kmax)
%求解子問題
aee=[ ];
if(ne>0), aee=ae; end
for(j=1:ni) %不等式約束的個數
if(index(j)>0), aee=[aee; ai(j,:)]; end %將不等式約束和等式約束的稀疏矩陣合併
end% min f(x)=0.5*x'*h*x+c'*x,
% s.t. a'_i*x-b_i=0,(i=1,...,l，l+1,...,m),
% 將不等式約束改為等式約束求解子問題。
gk=h*x+c;
[m1,n1] = size(aee);
[dk,lamk]=qsubp(h,gk,aee,zeros(m1,1)); %計算出極小點dk和拉格朗日乘子向量lamk
if(norm(dk)<=err) %dk為0的時候轉入第二步
y=0.0;
if(length(lamk)>ne)
[y,jk]=min(lamk(ne+1:length(lamk))); %確定有效集中lamda的最小元素。
endif(y>=0)
exitflag=0; %如果每個lamda都大於零，這dk為全域性極小點，
else %否則減去lamda對應的有效集元素，形成新的有效集
exitflag=1;
for(i=1:ni)
if(index(i) & (ne+sum(index(1:i)))==jk) %如果lamda對應的有效集位置為jk，且索引為1，則將索引置0
index(i)=0; break; %確保在之後的計算中，不在計算當前不等式約束。
endend
endk=k+1;
else %如果dk不等於0，轉入第三步
exitflag=1; %確定步長alpha
%求步長
alpha=1.0; tm=1.0;
for(i=1:ni)
if((index(i)==0)&(ai(i,:)*dk<0))
tm1=(bi(i)-ai(i,:)*x)/(ai(i,:)*dk); %alpha的計算見第三步的具體公式
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