費馬小定理：
證明：假如p是質數，且(a,p)=1，那麼 a^(p-1) ≡1（mod p）
一、準備知識：所謂"剩餘系"，就是指對於某乙個特定的正整數n，乙個整數集中的數模n所得的餘數域。
如果乙個剩餘系中包含了這個正整數所有可能的餘數(一般地，對於任意正整數n，有n個餘數:0,1,2,...,n-1)，那麼就被稱為是模n的乙個完全剩餘系。
引理1．剩餘系定理2若a,b,c為任意3個整數，m為正整數，且(m,c)=1,則當ac≡bc(modm)時，有a≡b(modm)
證明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因為(m,c)=1即m,c互質，c可以約去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩餘系定理5
若m為整數且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]為m個整數，若在這m個數中任取2個整數對m不同餘，則這m個整數對m構成完全剩餘系。
證明：構造m的完全剩餘系（0,1,2,…m-1），所有的整數必然這些整數中的1個對模m同餘。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1
引理3．剩餘系定理7
設m是乙個整數，且m>1，b是乙個整數且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的乙個完全剩餘系，則ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也構成模m的乙個完全剩餘系。
證明：若存在2個整數ba和ba[j]同餘即ba≡ba[j](mod m)，根據引理2則有a≡a[j](mod m)。根據完全剩餘系的定義和引理4（完全剩餘系中任意2個數之間不同餘，易證明）可知這是不可能的，因此不存在2個整數ba和ba[j]同餘。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]構成模m的乙個完全剩餘系。
引理4．同餘定理6
如果a,b,c,d是四個整數，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),則有ac≡bd(mod m)
證明：由題設得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模運算的傳遞性可得ac≡bd(mod m)
二、證明過程：
構造素數p的完全剩餘系p=，因為(a,p)=1，由引理3可得a=也是p的乙個完全剩餘系。令w=1*2*3*4…*(p-1)，顯然w≡w(mod p)。令y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因為是p的完全剩餘系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即w*a^(p-1)≡w(modp)。易知(w,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）
費馬大定理與費馬小定理
費馬大定理，又被稱為 費馬最後的定理 由17世紀法國數學家皮耶 德 費瑪提出。他斷言當整數n 2時，關於x,y,z的方程 xn yn zn 沒有正整數解。德國佛爾夫斯克曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第乙個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的 證明 被提出後，經歷多人猜想辯...
費馬小定理
選自 數論妙趣 數學女王的盛情款待 第六章 開門咒 數論中充斥著許多易於觀察到的事實，誘使人們用普通歸納推理的辦法去進行推廣。對此，必須慎之又慎，以免誤入陷阱。設想你偶而把 2自乘7次，再減去2，得2 7 2 126，隨後發現，126恰好能被2的冪指數7整除。接著又發現，25 2 30，30也能被2...
費馬小定理
費馬小定理 在較短時間內計算 a n p n極大 推倒 費馬小定律的描述，若a,p互質，則 a p 1 p 1 若不互質，則a p p a a,p互質，設n p 1 j餘n p 1 則 a n p a n p 1 p 1 j p a n p 1 a p 1 j p a n p 1 p a p 1 p...