最近點對問題

2021-07-04 17:06:54 字數 2378 閱讀 2478

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在二維平面上的n個點中,如何快速的找出最近的一對點,就是最近點對問題。

一種簡單的想法是暴力列舉每兩個點,記錄最小距離,顯然,時間複雜度為o(n^2)。

在這裡介紹一種時間複雜度為o(nlognlogn)的演算法。其實,這裡用到了分治的思想。將所給平面上n個點的集合s分成兩個子集s1和s2,每個子集中約有n/2個點。然後在每個子集中遞迴地求最接近的點對。在這裡,乙個關鍵的問題是如何實現分治法中的合併步驟,即由s1和s2的最接近點對,如何求得原集合s中的最接近點對。如果這兩個點分別在s1和s2中,問題就變得複雜了。

為了使問題變得簡單,首先考慮一維的情形。此時,s中的n個點退化為x軸上的n個實數x1,x2,...,xn。最接近點對即為這n個實數中相差最小的兩個實數。顯然可以先將點排好序,然後線性掃瞄就可以了。但我們為了便於推廣到二維的情形,嘗試用分治法解決這個問題。

假設我們用m點將s分為s1和s2兩個集合,這樣一來,對於所有的p(s1中的點)和q(s2中的點),有p

遞迴地在s1和s2上找出其最接近點對和,並設

d = min

由此易知,s中最接近點對或者是,或者是,或者是某個,如下圖所示。

此時,一維情形下的最近點對時間複雜度為o(nlogn)。

在二維情形下,類似的,利用分治法,但是難點在於如何實現線性的合併?

由上圖可見,形成的寬為2d的帶狀區間,最多可能有n個點,合併時間最壞情況下為n^2,。但是,p1和p2中的點具有以下稀疏的性質,對於p1中的任意一點,p2中的點必定落在乙個d x 2d的矩形中,且最多隻需檢查六個點(鴿巢原理)。

這樣,先將帶狀區間的點按y座標排序,然後線性掃瞄,這樣合併的時間複雜度為o(nlogn),幾乎為線性了。

光說不練也不行,經過自己的思考和參考網上的程式,完成了最近點對的程式,並在各oj上成功ac了。

poj3714

zoj2107

hdu1007

[cpp]view plain

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/**最近點對問題,時間複雜度為o(n*logn*logn)

*/#include 

#include 

#include 

#include 

#include 

using

namespace std;  

const

double inf = 1e20;  

const

int n = 100005;  

struct point  

point[n];  

int n;  

int tmpt[n];  

bool cmpxy(const point& a, const point& b)  

bool cmpy(const

int& a, const

int& b)  

double min(double a, double b)  

double dis(int i, int j)  

double closest_pair(int left, int right)  

sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);  

//線性掃瞄

for(i = 0; i 

}  return d;  

}  int main()  

return 0;  

}  

/**

最近點對問題,時間複雜度為o(n*logn*logn)

*/#include #include #include #include #include using namespace std;

const double inf = 1e20;

const int n = 100005;

struct point

point[n];

int n;

int tmpt[n];

bool cmpxy(const point& a, const point& b)

bool cmpy(const int& a, const int& b)

double min(double a, double b)

double dis(int i, int j)

double closest_pair(int left, int right)

sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);

//線性掃瞄

for(i = 0; i < k; i++)

}return d;

}int main()

return 0;

}

最近點對問題

在n n 1 個點的集合中尋找最近點對。即求任意兩點的歐幾里得距離的最小值。1 最簡單的暴力搜尋演算法,時間複雜對為o n n 2 這裡主要考慮分治演算法,執行時間的遞迴式為t n 2 t n 2 o n 時間複雜度為o n lgn 演算法思想 將集合中的點按x座標排序,我們可以想象一條垂直的直線將...

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