快速冪求模

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求乙個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。

一.先從簡單的例子入手：先求值，在取模。

演算法1.首先直接地來設計這個演算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;

這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為o（b

）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。

那麼，我們先來看看第乙個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣乙個公式：

引理1：（a*b）modn=((a mod n)*(b mod n))mod n

上面公式為下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。

證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，

於是不用思考的進行了改進：

演算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;

聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。

演算法3：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = (ans * a)% c;//這裡再取了一次餘
ans = ans % c;

這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為o(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。

二.快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。

有了上述兩個公式後，我們可以得出以下的結論：

1.如果b是偶數，我們可以記k = a2

mod c，那麼求(k)b/2

mod c就可以了。

2.如果b是奇數，我們也可以記k =a2

mod c，那麼求

((k)b/2

mod c × a ) mod c =((k)b/2

mod c * a) mod c就可以了。

那麼我們可以得到以下演算法：

演算法4：

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans *a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
ans = (ans *k) % c;
ans = ans % c;

我們可以看到，我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a)mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2

mod c而不是原來的ab

mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過

ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。

形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在o

（log b

）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。

演算法5：快速冪演算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)

將上述的**結構化，也就是寫成函式：

int powermod(int a, int b, int c)
return ans;
}

大冪值演算法：

long long quickpow(int n,int base)
return ans;
}

本演算法的時間複雜度為o（

logb

），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。

以下內容僅供參考：

擴充套件：有關於快速冪的演算法的推導，還可以從另乙個角度來想。

=？求解這個問題，我們也可以從進製轉換來考慮：

將10進製的b轉化成2進製的表示式：

那麼，實際上，.

所以注意此處的要麼為0，要麼為1，如果某一項，那麼這一項就是1，這個對應了上面演算法過程中b是偶數的情況，為1對應了b是奇數的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯絡10進製轉2進製的方法]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言，為時ans不用把它乘起來，[因為這一項值為1]，為1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這裡我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。

by 夜せ︱深

**！！！

__int64 fun(__int64 a,__int64 b,__int64 c)//a的b次方對c求餘

return ans;

} 三.關於矩陣的快速冪演算法

void metrixmul(int p1[2][2],int p2[2][2])
void metrixpow(int p[2][2],int n)
else
}

或者

matrix i = ;
matrix matrixmul(matrix a,matrix b) //矩陣乘法
return c;
} 
matrix quickpow(martix p,long long n)
return b;
}

快速冪求模

快速冪求模

快速冪求模

快速冪和快速冪求模演算法

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