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任何連續週期訊號都可以由一組適當的正弦曲線組合來逼近。
對於有限長度離散的訊號：（1）延拓為無限長訊號，成為非週期性離散訊號，使用dtft；（2）延拓為無限長訊號，成為週期性離散訊號，使用dft
計算機能處理的訊號：離散的、有限長度資料，採用dft處理
在計算機中，n個點可以表示週期為0、
1、2、
3⋯n2
的余弦訊號和正弦訊號。因此，對於乙個長度為n的離散訊號，可以表示為(n
2+1)
個正弦訊號、(n
2+1)
個余弦訊號的和。
時域頻域
x[0:n-1]
re x[0:n2
]、im x[0:n2
]n個時間點對應的幅值訊號n2
+1個頻率對應的余弦、正弦幅值訊號
頻率種類固定，關鍵在於每個頻率幅度的估計
dft頻率到時間的合成公式： x
[i]=
∑n2k
=0re
x^[k
]cos(2
πkin
)+∑n
2k=0
imx^
[k]sin(2
πkin
) 其中，
i 表示第i時刻
rex^
[k] 、im
x^[k
] 表示每2n
頻譜範圍的幅度和，其中，k=
0、n/
2 表示每1n
頻譜範圍的幅度和，而re
x[k]
、imx
[k] 表示整個（1個）頻譜範圍的幅度總和，因此滿足： r
ex^[
k]=2
rex[
k]n ，re
x^[0
]=re
x[0]
n ，re
x^[n
/2]=
rex[
n/2]
n
imx^
[k]=
−2im
x[k]
n ，im
x^[0
]=−i
mx[0
]n，imx
^[n/
2]=−
imx[
n/2]
n 其中，re
x[k]
、imx
[k]
rex
[k]=
∑n−1
i=0x
[i]cos(2
πkin
) im
x[k]
=−∑n
−1i=
0x[i
]sin(2
πkin
) 由上，實現時域到頻域的變換。
根據tayler展開，可推導得到尤拉等式：me
jθ=m
cosθ+j
msinθ=
a+jb
1）從時域到頻域的變換
re
x[k]
=∑i=
0n−1
x[i]
cos(2π
kin)
imx[
k]=−
∑i=0
n−1x
[i]sin(2
πkin
)
將其表示為複數形式：
x[k
]=∑i
=0n−
1x[i
][cos(2π
kin)
−jsin(2π
kin)
]=∑i
=0n−
1x[i
]e−j
2πki
n
其中，
k 的取值範圍為0,
1⋯n−
1 【注：與實數傅利葉變換相異，實數傅利葉變換頻譜範圍只能取0,
1⋯n2
，而複數傅利葉變換可以取負的頻譜−1
⋯−n2
，根據對稱性，可取
k 為0,
1⋯n−
1】4. 逆向傅利葉變換
x[i]
=∑k=
0n−1
x^[k
][cos(2π
kin)
+jsin(2π
kin)
]=∑k
=0n−
1x^[
k]ej
2πki
ni∈0
,1⋯n
−1 直觀上理解，將每個頻域該時刻的幅值相加即得該時刻的幅值。如何進行數學上推導？
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