目錄
問題的提出
馬爾薩斯人口模型
邏輯回歸模型
1.問題的提出馬爾薩斯人口問題是對群體增長的**，由馬爾薩斯提出，同時他還寫了一本關於人口增長的書，整本書的研究均像歐幾里得研究幾何學一樣，採用公理化來研究，他提出的兩條基本公理為：
由此，我們可以建立對應的研究物件：t→
p(t)
其中t代表時間，p（
t）代表時刻t的人口，我們認為人口雖時間變化，當然它肯定還受其他多方面的因素影響，這只是我們對這個問題的簡化。
我們希望達到的目標有兩個：
**未來的某一t時刻的人口有多少？當t
→∞，人口有多少？
這是我們的問題，如何解決呢？
2.馬爾薩斯人口模型高爾斯在《數學》中也談到了這個問題，人口可以表示成乙個數對：(t
,p(t
))其中t代表時刻，p(
t)代表了時刻t的人口。另外我們用b,d表示出生率和死亡率。
如果2023年的總人口是p，那2023年的出生人數和死亡人數就是bp,dp，因此2023年的總人數為：p+
bp−d
p=(1
+b−d
)p=(
1+r)
p 這樣的計算，是屬於離散的模型，因為時間的跨度是一年，但人口的出生和死亡在不同時刻都有，為了把它變成連續的模型，我們借助積分的思想，計算一下在某一小段時間內，人口的增長情況，可以有：p(
t+∇t
)−p(
t)=r
p(t)
∇t 在
∇t這段時間內的人口增長為：增長
率xt時
刻的人口
x時間
把∇t 除過來：p(
t+∇t
)−p(
t)∇t
=rp(
t)取極限了令∇t
→0就可以得到微分方程：dp
(t)d
t=rp
(t)
假設初始時刻t0
的人口為p(
t0) ,使用分離變數法求解微分方程的處置問題，可得：dp
(t)p
(t)=
rdt→
∫tt0
dp(t
)p(t
)=∫t
t0rd
t 化簡求解得：p(
t)=p
(t0)
er(t
−t0)
如果使用這個函式來描述人口增長的話，人口是呈指數增長的，因此馬爾薩斯說我們要加以控制人口。
然後用這個模型來回答我們的兩個問題：
得到這樣的模型之後，馬爾薩斯使用當時的英國人口資料來驗證，發現那時候的人口確實呈指數增長的。
通過這個小案列，我們發現數學建模其實是乙個迴圈的過程，表示如下：
我們在現實生活中得到乙個問題，然後然後把它表示成數學表示式，將這個表示式作為我們的研究物件，然後使用一系列數學理論知識求解這個表示式，得到問題的解決方案。然後再把解決方案和現實的問題比對，不斷改進，迭代模型，這就是所謂的研究。
3.邏輯回歸模型由馬爾薩斯人口模型，我們發現在當時確實被認為是正確的，但是在今天是否還在適用呢？顯然這個模型是不再適用了的，我們人口增長，或者說種群的增長是存在乙個閥值的，因為增長率不是一直固定不變的，那我們該怎麼描述這個增長率的變化呢？假設增長率是隨時間變化的，我們可以把增長率描述成乙個關於t的函式：r(
t)=r
(p(t
))=(
1−p(
t)k)
它是通過人口的變化而變化的,且存在乙個閥值k，使得dp
dt=r
p(1−
nk)
更加詳細的關於邏輯回歸解釋可以參考這篇文章：【機器學習系列之二】邏輯回歸（lr,logistic regression）這篇主要從機器學習的應用出發講解的，較為詳細。
這個模型事實上是連續的，因為∇t
→0,如果我們把這個微分方程離散化，變成差分方程可以寫成：∇n
∇t=r
n(1−
nk)
假如把離散步長直接設成1，可以有：∇n
=nt+
1−nt
,∇t=
1 化簡可得：nt
+1−n
t=rn
(1−n
k)即：nt
+1=(
1+r)
nt−r
kn2t
假如我們從數學的問題出發，取定k，改變r，看一下這個差分方程會有什麼變化呢？
所以當r非常小的時候，是趨於穩態的，當r在慢慢變大之後，開始呈現週期性，而且r越大，週期的越長，放大這個尺度，如圖所示：
當r一開始時，它是乙個穩態，然後變成了乙個2週期解，然後變成4週期，8，16週期的，整個現象我們稱為倍週期的。同時，對最後這種很特別的現象，我們稱之為混沌。
再回想一下我們對邏輯回歸的整個**過程，我們先從原來的人口模型中，增加更多的變數，考慮更多的東西，然後得到邏輯回歸模型，然後把邏輯回歸的方程變成差分方程，然後用純數學的方法來**這個方程有什麼樣的性質，這其實就是乙個研究的過程。
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