快速冪取模就是使用更快的方式計算冪式的模，例如當
a a
和b' role="presentation">b
b很大時，用傳統的方法計算ab
%ca b%
c會發生溢位，這時我們就需要使用快速冪取模演算法。
int ans = 1;
for(int i = 0; i < b; i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
b)o (b
)，而且一旦
a a
或者b' role="presentation">b
b的值過大，就會發生溢位。下面，我們來看乙個新的演算法：
我們來證明ab
%c=(
a%c)
b%c ab%
c=(a
%c)b
%c
設a=k×c+
e a=k
×c+e
，帶入上式得(k
×c+e
)b%c
=eb%
c=(a
%c)b
%c( k×
c+e)
b%c=
eb%c
=(a%
c)b%
c證畢。
利用這個公式，我們可以改進剛才的演算法
int ans = 1;
a = a % c;
for(int i = 0; i < b; i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
b)o (b
)，還是會在
b b
很大的時候發生溢位。我們還需要繼續改進演算法。
我們的最終演算法依賴下面這兩個公式：
1. 當
b' role="presentation">b
b是偶數時，ab
%c=(
(a2)
b/2)
%ca b%
c=((
a2)b
/2)%
c2. 當
b b
是奇數時，ab
%c=(
(a2)
b/2×
a)%c
' role="presentation">ab%
c=((
a2)b
/2×a
)%ca
b%c=
((a2
)b/2
×a)%
c這兩個公式是很容易證明的，我們不在贅述。
根據這兩個公式，我們有：
1. 當
b b
是偶數時，ab
%c=(
a2)b
/2%c
=(a2
%c)b
/2%c
' role="presentation">ab%
c=(a
2)b/
2%c=
(a2%
c)b/
2%ca
b%c=
(a2)
b/2%
c=(a
2%c)
b/2%
c2. 當
b b
是奇數時，ab
%c=(
(a2)
b/2×
a)%c
=[(a
2%c)
b/2%
c×(a
%c)]
%c' role="presentation">ab%
c=((
a2)b
/2×a
)%c=
[(a2
%c)b
/2%c
×(a%
c)]%
cab%
c=((
a2)b
/2×a
)%c=
[(a2
%c)b
/2%c
×(a%
c)]%
c 這樣就可以寫出快速冪取模的遞迴演算法了
#include
int powermod(int a, int b, int c)
}int main()
log2(b
) log2
(b
)
快速冪 快速冪取模演算法
在平時我們需要求乙個a b時，一般會用c 自帶的pow 函式對吧，可是加入資料十分大時，pow 是十分慢的，這個時候我們需要乙個能高效求出a b的演算法，這這時就出現了快速冪演算法。假如我們需要求3 999，那麼我們是不是可以發現3 999 3 512 256 128 64 32 4 2 1 3 5...
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快速冪取模演算法
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