一些基本概念以及lcs演算法核心思想摘錄自別人的部落格，在此申明。(沒必要做不必要的重複勞動，這篇部落格和我看的一本書中的內容很相似，後面的**改編自原書中的實現，書中)1）子串行： 乙個序列a ＝ a1,a2,……an,中任意刪除若干項，剩餘的序列叫做a的乙個子串行。也可以認為是從序列a按原順序保留任意若干項得到的序列。
例如：對序列 1,3,5,4,2,6,8,7來說，序列3,4,8,7 是它的乙個子串行。
對於乙個長度為n的序列，它一共有2^n 個子序列，有(2^n – 1)個非空子序列。
（2）公共子串行： 顧名思義，如果序列c既是序列a的子串行，同時也是序列b的子串行，則稱它為序列a和序列b的公共子串行。
例如：對序列 1,3,5,4,2,6,8,7和序列 1,4,8,6,7,5 來說
序列1,8,7是它們的乙個公共子串行。
請注意：空序列是任何兩個序列的公共子串行。
例如： 序列1,2,3和序列4,5,6的公共子串行只有空序列。
（3）最長公共子串行
a和b的公共子串行中長度最長的（包含元素最多的）叫做a和b的公共子串行。
仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5
它們的最長公共子串行是：
1,4,8,7
1,4,6,7
最長公共子串行的長度是4 。
請注意:最長公共子串行不唯一。
請大家用集合的觀點來理解這些概念，子串行、公共子串行以及最長公共子串行都不唯一，所以我們通常說乙個最長公共子串行，但顯然最長公共子串行的長度是一定的。
最長公共子串行問題就是求序列a= a1,a2,……an, 和b = b1,b2,……bm,的乙個最長公共子串行。
因為最長公共子串行不唯一，讓我們把問題簡化，如何求出兩個序列的最長公共子串行長度呢？
你首先能想到的恐怕是暴力列舉？那我們先來看看：序列a有 2^n 個子序列，序列b有 2^m 個子序列，如果任意兩個子串行一一比較，比較的子串行高達 2^(n+m) 對，這還沒有算具體比較的複雜度。
或許你說，只有長度相同的子串行才會真正進行比較。那麼忽略空序列，我們來看看：對於a長度為1的子串行有c(n,1)個，長度為2的子串行有c(n,2)個，……長度為n的子串行有c(n,n)個。對於b也可以做類似分析，即使只對序列a和序列b長度相同的子串行做比較，那麼總的比較次數高達：
c(n,1)c(m,1)*1 + c(n,2) c(m,2) * 2+ …+c(n,p) * c(m,p)*p
其中p = min(m, n)。
嚇著了吧？怎麼辦？試試使用動態規劃演算法！
我們用ax表示序列a的連續前x項構成的子串行，即ax= a1,a2,……ax, by= b1,b2,……by, 我們用lcs(x, y)表示它們的最長公共子串行長度，那原問題等價於求lcs(m,n)。為了方便我們用l(x, y)表示ax和by的乙個最長公共子串行。
讓我們來看看如何求lcs(x, y)。我們令x表示子串行考慮最後一項
（1） ax ＝ by
那麼它們l(ax, by)的最後一項一定是這個元素！
為什麼呢？為了方便，我們令t = ax = by, 我們用反證法：假設l(x,y)最後一項不是t，
則要麼l(x,y)為空序列（別忘了這個），要麼l(x,y)的最後一項是aa＝bb ≠ t, 且顯然有a < x, b < y。無論是哪種情況我們都可以把t接到這個l(x,y)後面,從而得到乙個更長的公共子串行。矛盾！
如果我們從序列ax中刪掉最後一項ax得到ax-1,從序列by中也刪掉最後一項by得到by-1，(多說一句角標為0時，認為子串行是空序列)，則我們從l(x,y)也刪掉最後一項t得到的序列是l(x – 1, y - 1)。為什麼呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是l(x - 1, y - 1)，則它一定比l(x - 1, y - 1)短（注意l（，）是個集合！），那麼它後面接上元素t得到的子串行l(x,y)也比l(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子串行短，這與l(x, y)是最長公共子串行矛盾。
因此l(x, y) = l(x - 1, y - 1) 最後接上元素t
lcs(ax, by) = lcs(x - 1, y - 1) + 1
（2） ax ≠ by
仍然設t = l(ax, by), 或者l(ax, by)是空序列（這時t是未定義值不等於任何值）。
則t ≠ ax和t ≠ by至少有乙個成立，因為t不能同時等於兩個不同的值嘛！
（2.1） 如果t ≠ ax，則有l(x, y)= l(x - 1, y)，因為根本沒ax的事嘛。
lcs(x,y) = lcs(x – 1, y)
（2.2） 如果t ≠ by,l類似l(x, y)= l(x , y - 1)
lcs(x,y) = lcs(x, y – 1)
可是，我們事先並不知道t，由定義，我們取最大的乙個，因此這種情況下,有lcs(x,y) = max(lcs(x – 1, y) , lcs(x, y – 1))。
看看目前我們已經得到了什麼結論：
lcs(x,y) =
(1) lcs(x - 1,y - 1) + 1 如果ax ＝ by
(2) max(lcs(x – 1, y) , lcs(x, y – 1)) 如果ax ≠ by**
這時乙個顯然的遞推式，光有遞推可不行，初值是什麼呢？
顯然，乙個空序列和任何序列的最長公共子串行都是空序列！所以我們有:
lcs(x,y) =
(1) lcs(x - 1,y - 1) + 1 如果ax ＝ by
(2) max(lcs(x – 1, y) , lcs(x, y – 1)) 如果ax ≠ by
(3) 0 如果x = 0或者y = 0
到此我們求出了計算最長公共子串行長度的遞推公式。我們實際上計算了乙個(n + 1)行(m + 1)列的**（行是0..n，列是0..m)，也就這個二維度陣列lcs(,)。
現在問題來了，我們如何得到乙個最長公共子串行而僅僅不是簡單的長度呢？其實我們離真正的答案只有一步之遙！
仍然考慮那個遞推式，我們lcs(x,y)的值**的三種情況：
注意(2.1)和(2.2) ，當lcs(x – 1, y) ＝ lcs(x, y – 1)時，其實走哪個分支都一樣，雖然長度時一樣的，但是可能對應不同的子串行，所以最長公共子串行並不唯一。
神奇吧？又乙個類似的遞推公式。可見我們在計算長度lcs(x,y)的時候只要多記錄一些資訊，就可以利用這些資訊恢復出乙個最長公共子串行來。就好比我們在迷宮裡走路，走到每個位置的時候記錄下我們時從哪個方向來的，就可以從終點回到起點一樣。
另外，說一下複雜度？
時間複雜度時o(n * m)，空間也是o(n * m)
package com.csk.algs;
/** * created by c49s09k_01 on 2018/4/10.
* * lcs:最長公共子串行
* * s(i,j) = 1 若 ai == bj
* s(i,j) = 2 若 ai ！= bj，且 l(i - 1, j) >= l(i, j - 1)
* s(i,j) = 3 若 ai ！= bj，且 l(i - 1, j) < l(i, j - 1)
*/public
class
lcs
else
if(l[i - 1][j] >= l[i][j - 1])
else}}
i = alen;
j = blen;
k = l[alen][blen];
char res = new
char[k];
while((i != 0) && (j != 0))
case
2 :
case
3 : }}
return
new string(res);
}public
static
void
main(string args)
}
有時間去改-_-
注：參考文章：
LCS 最長公共子串行
問題描述 我們稱序列z z1,z2,zk 是序列x x1,x2,xm 的子串行當且僅當存在嚴格上 公升的序列 i1,i2,ik 使得對 j 1,2,k,有 xij zj。比如z a,b,f,c 是 x a,b,c,f,b,c 的子串行。現在給出兩個序列 x和 y，你的任務是找到 x和 y的最大公共子...
LCS最長公共子串行
求兩個字串的最大公共子串行問題 子串行的定義 若給定序列x 則另一串行z 是x的子串行是指存在乙個嚴格遞增下標序列使得對於所有j 1,2,k有 zj xij。例如，序列z 是序列x 的子序列，相應的遞增下標序列為。分析 用動態規劃做 1.最長公共子串行的結構 事實上，最長公共子串行問題具有最優子結構...
LCS最長公共子串行
lcs是longest common subsequence的縮寫，即最長公共子串行。乙個序列，如果是兩個或多個已知序列的子串行，且是所有子串行中最長的，則為最長公共子串行。複雜度對於一般的lcs問題，都屬於np問題。當數列的量為一定的時，都可以採用動態規劃去解決。解法動態規劃的乙個計算最長公共子串...