自相關函式與互相關函式

**：

1、概念

稱為變數 x 和 y 的相關係數。若相關係數 = 0，則稱 x與y 不相關。相關係數越大，相關性越大，但肯定小於或者等於1.。相關函式分為自相關和互相關。下面一一介紹

（1）、自相關函式

自相關函式是描述隨機訊號 x(t) 在任意不同時刻 t1,t2的取值之間的相關程度。自相關函式，是對訊號自身的互相關,表示同一序列不同時刻的相關程度。是用尋找重複模式的數字工具，就如乙個存在被覆蓋雜訊的週期訊號，或識別丟失的基頻。它經常被用於訊號處理中的分析函式或序列，如時域訊號。定義式：

主要性質如下：

（1）自相關函式為偶函式，其圖形對稱於縱軸。

（2）當s=t 時，自相關函式具有最大值，且等於訊號的均方值，即

（3）週期訊號的自相關函式仍為同頻率的週期訊號。

（2）、互相關函式

對於連續函式，有定義：

對於離散的，有定義：

從定義式中可以看到，互相關函式和卷積運算類似，也是兩個序列滑動相乘，但是區別在於：互相關的兩個序列都不翻轉，直接滑動相乘，求和；卷積的其中乙個序列需要先翻轉，然後滑動相乘，求和。所以，f(t)和g(t) 做相關等於 f*(-t) 與 g(t) 做卷積。

在圖象處理中，自相關和互相關函式的定義如下：設原函式是f(t)，則自相關函式定義為 r(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷積；設兩個函式分別是f(t)和g(t)，則互相關函式定義為r(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是兩個函式在不同的相對位置上互相匹配的程度。

2、物理意義

兩個相關函式都是對相關性，即相似性的度量。如果進行歸一化，會看的更清楚。

自相關就是函式和函式本身的相關性，當函式中有週期性分量的時候，自相關函式的極大值能夠很好的體現這種週期性。互相關就是兩個函式之間的相似性，當兩個函式都具有相同週期分量的時候，它的極大值同樣能體現這種週期性的分量。