問題背景：
設有容量為v的揹包，有n種物品，每件物品的體積是c[i]，對應的價值是v[i]，每種物品只有乙個，要使揹包中所裝物品的價值總和最大，問該如何選擇。
用乙個二維陣列f[i][j]，來表示i件物品，在用j的容量時的最大的價值。因為對於每一件物品，你選擇就只能是裝或者不裝這件物品。
例如：物品： a b c d
體積： 5 4 6 10
價值; 10 7 14 25
當你揹包裝1件物品時，假如你的揹包容量為4，此時f[1][4]=7,你只能裝物品b，如果你揹包容量為9，這時你就有了選擇，能夠裝下物品a，b，c中的任何乙個，因為只能裝下一件物品，所以即使你能裝下a和b，你當然也只能選價值最大的物品c，即f[1][9]=14。
第一件物品當然是比較簡單，當揹包裝兩件物品時（i=2），當你揹包還能裝下第二件物品，此時你有兩個選擇，對第二件物品拿與不拿：
拿的話就是f[i][j] = f[i-1][j – c[i]] + v[i] 下劃線部分是拿第i個物品之前最多能拿的價值，再加上v[i]（第i個物品的價值）這就是拿第i個物品時的最大價值。
不拿的話就是f[i][j] = f[i-1][j]就相當於裝i-1件物品的最大價值。當你揹包裝不下第二件物品的時候也是f[i][j] = f[i-1][j]（裝不下了，還不是只能像前面一樣唄）
這時，我們每一步都是取的最佳方案（得到了最大價值）
我們就可以得出狀態轉移方程 f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j – c[i]] + v[i])
目標就是f[n][v]
這裡有個難理解的地方就是初學者可能認為，f[i][j] = f[i-1][j – c[i]] + v[i]不是裝得下就裝了嗎？
並不是這樣！！！ 當你的揹包容量v = 26時
我們不如打個表看看
比如f[3][25] = max(f[2][25], f[2][25-6] + 14) = max(39, 56)=56 這就不對了 為什麼呢？！
比如f[4][25] = max(f[3][25], f[3][25-10] + 25) = max(49,56)=56; 這又是對的
但是！！！ 程式出來是這樣的
在這裡比如f[3][25] = max(f[2][25], f[2][25-6] + 14) = max(17, 31)=31
比如f[4][25] = max(f[3][25], f[3][25-10] + 25) = max(31,56)=56;
這才是正解（為什麼會這樣的原因，相信讀者能自己分析出來）
二維陣列的時間和空間複雜度都是o(vn)
有沒有發現，只有最後一行**才有用，這時我們想到了用一維陣列來優化。
時間複雜度不能再進行優化了，但可以將空間複雜度優化。
先寫出狀態轉移方程f[j] = max(f[j], f[j – c[i]] + v[i])
我們可以繼續分析一波資料
還是用上面的例子：
物品： a b c
體積： 5 4 6
價值; 10 7 14
當 i = 1 時
f[0] 到 f[4]顯然都是零
f[5] = max(f[5], f[0] + 10)= 10
f[6] = max(f[6], f[1] + 10) = 10
…f[9] = max(f[9], f[4] + 10) = 10
f[10] = max(f[10], f[5] + 10)=20
!!! 問題出現了，如果每件物品只拿一次，價值不可能出現20
仔細分析發現原來是物品a拿了兩次既f[10]不僅由f[5]決定了而且還被f[0]影響了，這顯然是不對的，這就是我們後面要講的完全揹包問題。
我們想出了乙個解決辦法，不是f[10]被前面多次重新整理嘛，我們第二層迴圈倒著來。j=14開始（我們不分析這麼多了揹包就取14）到j>=c[i]就可以了，因為前面都是0，沒有意義。
i = 1時
f[14] = max(f[14], f[9] + 10) = 10
f[13] = max(f[13], f[8] + 10) = 10
…f[5] = max(f[5], f[0] + 10) = 10
i = 2時
f[14] = max(f[14], f[10] + 7) = 17
…f[9] = max(f[9], f[5] + 7) = 17
f[8] = max(f[8], f[4] + 7) = 10;
看到沒，f[9]到f[14]的值重新整理了
i = 3 時
f[14] = max(f[14, f[8] + 14] = 24
f[13] = max(f[13], f[7] +14) = 24
…後面就不列舉了，我們要的結果f[14]已經出來了顯然這是正確的答案。
由此可見對於二維陣列，我們可以用一維滾動陣列來實現，減少不必要的浪費。
重點來了！！！用滾動陣列的時候內層迴圈一定要逆序
再寫一點關於初始化的問題，對於揹包問題，有要求揹包裝滿與不裝滿兩種情況
裝滿那就要f[0] = 0; 其他的都為-∞，為什麼呢，因為只有在揹包容量為0的時候才可以乙個都不裝價值為0，當揹包有容量，就可能裝得下東西，但你不能選擇什麼都不裝對吧，這不符合要求，所以初始化為-∞之後，只有當你裝之後這個值才有意義。
不要求裝滿就全部初始化為0，理由同上，裝與不裝是你的選擇，你可以留著容量不裝，這時所有值都有意義。
最後貼上01揹包的**
二維：
for
(int i =
1; i <= n; i++
)//n表示種類
for(
int j =
1; j <= v; j++
)//v表示揹包容量 這裡迴圈正序逆序都行
if(j >= c[i]
) f[i]
[j]=
max(f[i-1]
[j], f[i-1]
[j - c[i]
]+ v[i]
)else
f[i]
[j]= f[i-1]
[j] cout << f[n]
[v];
for
(int i =
1; i <= n; i++
)for
(int j = v; j >= c[i]
; j--
)// 一定要逆序
f[j]
=max
(f[j]
, f[j - c[i]
]+ v[i]);
cout << f[v]
;
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