設\(f:a \to b,a_0 \sub a\) 和$ b_0 \sub b$.
$(a) $
證明:\(a_0 \sub f^(f(a_0))\) , 並且當\(f\) 為單射,式子中關係可替換為等號.
\((b)\)
證明:$f(f^(b_0)) \sub b_0 $ , 並且當\(f\)為滿射,式子中關係可替換為等號.
補充:原像的定義
\[f^(b_0) = \
\]\((a)\)
\(f^(f(a_0)) = \\) ,
若\(x \in a_0\) 有\(f(x) \in f(a_0)\),
則$x \in f^(f(a_0)) $,
\(a_0 \sub f^(f(a_0))\)得證.(我總覺得能寫的更好一些)
若為單射
對\(x \in f^(f(a_0))\),\(f(x) \in f(a_0)\),
則存在 \(y \in a_0\),
\(s.t.\)
$ f(y) = f(x) \in f(a_0)$
因為為單射,所以 \(x = y \in a_0\),
結合上乙個證明,等式成立.
\((b)\)
\(x \in f(f^(b_0))\)
存在$ y \in f^(b_0)$ , \(f(y) = x\)
因為 \(y \in f^(b_0)\)
所以 \(x = f(y) \in f(b_0)\)得證.
若為滿射
for \(x \in b_0\) ,
\(\exist y \in f^(b_0)\) ,(滿射的定義,關鍵所在,ps:我這裡想寫\(f^(x)\),發現還少了乙個單射的條件)
\(s.t.\)
\(f(y) = x\)
又\(f(y) \in f(f^(b_0))\)
\(x \in f(f^(b_0))\)
結合上乙個證明,等式成立.
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