篩法求素數

線性篩法求素數

顧名思義，其時間複雜度為o(n)。

1 #include2
using
namespace
std; 
3const
long maxp = 200000
; 4
long prime[maxp] = ,num_prime = 0
; 5
int isnotprime[maxp] = ; 
6int
main() 7 
18} 
19return
0; 
20 }

if( !(i %prime[j])) 
break;

為什麼這裡要break？先可以得出乙個結論，此時的prime[j]為（i*prime[j]）的最小質因數。現設x=p1*a為合數，且p1為其最小的質因子，a為質數或合數，若為質數，則設a=1*p`（a`=1），否則設a=a`*p`，p`為質數（因為任意乙個合數都可以表示成乙個質數和另乙個數的乘積）。則x=(p1*a`)*p`=p1*(a`*p`)，且可以知道p1*a`<=p`*a`,即合數（p1*a`）小於合數（p`*a`），且p1<=p`,故得出結論，即比乙個合數數大的質數和該合數的乘積可用乙個更大的合數和比其小的質數相乘得到。

在上面實現**中，i在1~maxp間迴圈，在i=p1*a時，若滿足 !(i % prime[j])而不break的話，有可能在後面遇到乙個prime[k],使得某個數x`=p1`*a`*prime[k]，在之後i=(a`*prime[k])時，還會再和p1`相乘重新進行isnotprime[i * prime[j]] = 1; 賦值，這樣就造成了重複賦值，降低了效率，如果break了，則不會出現這樣的情況。

考慮完上面的問題，還有個問題需要考慮，即省去的i*prime[k]在後來的過程中一定會再出現從而使得將isnotprime[i * prime[k]]賦值為1麼？答案是肯定的，因為上面提到了任意乙個合數都可以表示成乙個質數和另乙個數的乘積，所以任意乙個數總能表示成其最小質因子與另乙個數相稱的形式，因為我們列舉了所有可能的i，故「另乙個數」的所有可能性我們都有考慮，所以，只要我們找到其最小質因子則就不會漏掉任意乙個數。

1
void
sieve()213
return
;14 }

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