01揹包問題,是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子

2021-06-25 19:44:12 字數 2167 閱讀 9387

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01揹包問題,是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子,網上關於01揹包問題的講解也很多,我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式,最少的公式把01揹包問題講解透徹。

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中,可以取得的最大價值。

pi表示第i件物品的價值。

決策:為了揹包中物品總價值最大化,第 i件物品應該放入揹包中嗎 ?

題目描述:

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品,它們的重量分別是2,2,6,5,4,它們的價值分別是6,3,5,4,6,現在給你個承重為10的揹包,如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和?

name

weight

value12

3456

78910

a260

6699

1212

151515b

2303

3669

991011c6

5000

6666

61011d

5400

0666

661010e4

6000

6666

666只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。

首先要明確這張表是至底向上,從左到右生成的。

為了敘述方便,用e2單元格表示e行2列的單元格,這個單元格的意義是用來表示只有物品e時,有個承重為2的揹包,那麼這個揹包的最大價值是0,因為e物品的重量是4,揹包裝不了。

對於d2單元格,表示只有物品e,d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值,仍然是0,因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理,c2=0,b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包,a8=15,是怎麼得出的呢?

根據01揹包的狀態轉換方程,需要考察兩個值,

乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9,另乙個是f[i-1,j-wi]+pi;

在這裡,

f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包,當只有物品b,c,d,e四件可選時,這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包(等於當前揹包承重減去物品a的重量),當只有物品b,c,d,e四件可選時,這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9,pi指的是a物品的價值,即6

由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9,所以物品a應該放入承重為8的揹包

好,至此我們解決了揹包問題中最基本的0/1揹包問題。等等,這時你可能要問,

我現在只知道揹包能裝入寶石的最大價值,但我還不知道要往揹包裡裝入哪些寶石啊。

嗯, 好問題!讓我們先定義乙個陣列x,對於其中的元素為1時表示對應編號的寶石放入揹包, 為0則不放入。讓我們回到上面的例子,對於體積為5,4,3,價值為20,10,12的3個寶石 ,如何求得其對應的陣列x呢?(明顯我們目測一下就知道x=, 但程式可目測不出來)ok,讓我們還是從狀態說起。如果我們把2號寶石放入了揹包, 那麼是不是也就意味著,前3個寶石放入揹包的最大價值要比前2個寶石放入揹包的價值大, 即:d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具體的數字 (不知不覺中我們就用了不完全歸納法哈),

當d(i, j)>d(i-1, j)時,x(i-1)=1;j=j-w[i];ok,

int j=c-1;

for(int i=n-1;i>0;i--) }

if(d[0][j]>0)

x[0]=1;

完整的程式:

#includeusing namespace std;

const int n=5;

const int c=10;

int v=,w=;//下標從0開始

int x[n];

int d[n][c]=;

void find()

else if(j-w[i]<0)//剩餘空間放不下當前的物品

d[i][j]=d[i-1][j];

else

d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);

} }}

void main()

} if(d[0][j]>0)

x[0]=1;

for(int i=0;i

動態規劃揹包問題 01揹包

問題描述 n種物品,每種乙個。第i種物品的體積為vi,重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包,使得揹包內物品不超過c的前提下,重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時,揹包容量不足以放下第 i 件物品,f ...

動態規劃 揹包問題 01揹包

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0 1揹包問題(動態規劃)

一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包,表示每乙個物品只有乙個,要麼裝入,要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解,定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品,在揹包容量大小為v的情況下,最...