在m件物品取出若干件放在空間為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2……wn，與之相對應的價值為p1,p2……pn。求出獲得最大價值的方案。
注意：在本題中，所有的體積值均為整數。01的意思是，每個物品都是乙個整體，要麼整個都要，要麼都不要。
1）最優子結構
考慮所有物品的子集合，考慮第n個物品都有兩種情況: 1. 包括在最優方案中 2. 不在最優方案中
因此，能獲得的最大價值，即為以下兩個值中較大的那個
1) 在剩下 n-1 個物品中(剩餘 w 重量可用)的情況能得到的最大價值 (即排除了 第n個物品)
2) 第n個物品的價值 加上 剩下 剩下的 n-1 個物品(剩餘w- wn的重量)能得到的最大價值。(即包含了第n個物品)
如果第n個物品的重量，超過了當前的剩餘重量w，那麼只能選情況1)， 排除第n個物品。
2) 重疊子問題
下面是乙個遞迴的實現，按照上面的最優子結構。
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01/* 樸素的遞迴實現 0-1 揹包 */
02#include
03
04intmax(inta,intb)
05
06// 返回 前n個物品在容量為w時，能得到的最大價值
07intknapsack(intw,intwt,intval,intn)
08
22
23// 測試
24intmain()
25;
27intwt = ;
28intw = 50;
29intn =sizeof(val)/sizeof(val[0]);
30printf("%d", knapsack(w, wt, val, n));
31return0;
32}
這種方法其實就是搜尋了所有的情況，但是有很多重複的計算。時間複雜度是指數級的 o(2^n)。
01在下面的遞迴樹中 k() 代表 knapsack().
02輸入資料如下：
03wt = , w = 2, val =
04
05k(3, 2) ---------> k(n, w)
06/ \
07/ \
08k(2,2) k(2,1)
09/ \ / \
10/ \ / \
11k(1,2) k(1,1) k(1,1) k(1,0)
12/ \ / \ / \
13/ \ / \ / \
14k(0,2) k(0,1) k(0,1) k(0,0) k(0,1) k(0,0)
可見相同的子問題被計算多次。01揹包滿足動態規劃演算法的兩個基本屬性(重疊子問題和最優子結構)。可以通過自下而上的打表，儲存中間結果，來避免重複計算。動態規劃解法如下：
01#include
02intmax(inta,intb)
03
04intknapsack(intw,intwt,intval,intn)
05
20}
21returndp[n][w];
22}
23
24intmain()
25;
27intwt = ;
28intw = 50;
29intn =sizeof(val)/sizeof(val[0]);
30printf("%d", knapsack(w, wt, val, n));
31return0;
32}
空間複雜度和時間複雜度都為 o(wn). 由於打表的過程中，計算的當前行只依賴上一行，空間複雜度可以優化為o(w);
參考：更多關於演算法分析的文章：
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...