最短Hamilton路徑 狀態壓縮DP

2022-05-19 06:28:49 字數 1194 閱讀 4819

《更新提示》

《第一次更新》狀壓dp入門

《正文》

給定一張 n(n≤20) 個點的帶權無向圖，點從 0~n-1 標號，求起點 0 到終點 n-1 的最短hamilton路徑。 hamilton路徑的定義是從 0 到 n-1 不重不漏地經過每個點恰好一次。

第一行乙個整數n。 接下來n行每行n個整數，其中第i行第j個整數表示點i到j的距離（乙個不超過10^7的正整數，記為a[i,j]）。 對於任意的x,y,z，資料保證 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 並且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

乙個整數，表示最短hamilton路徑的長度。

4


0 2 1 3


2 0 2 1


1 2 0 1


3 1 1 0
4
很容易想到的樸素解法是列舉全排列，時間複雜度\(o(n*!n)\)，顯然是會\(tle\)的。注意到\(n<20\)，我們考慮狀態壓縮\(dp\)。設\(f[i][s]\)代表當前遍歷狀態為\(s\)，到了第\(i\)個點的最短長度。如何理解遍歷狀態\(s\)呢？我們把它當做乙個二進位制的\(01\)串，從右數第i位為如果為\(0\)，就說明節點i沒有被遍歷到過，如果第\(i\)位為\(1\)，則說明節點i被遍歷到過了。我們將整個圖的遍歷狀態記為乙個二進位制數，這就是狀態壓縮。

那麼我們考慮如何\(dp\)。我們將編號記為從\(1\)開始的，那麼初始狀態就是\(f[1][1]=0\)。

這裡我們需要先理解狀態的查詢和賦值操作:

1.s&(1<<(i-1))代表取出狀態s的(從右往左)第i位

2.s|(1<<(i-1))代表將狀態s的(從右往左)第i位賦值為1

那麼我們就可以得到狀態轉移方程了:$$f[j][s|(1<<(j-1))]=\min$$

需要滿足節點\(j\)未訪問，節點\(i\)已經訪問過了。

狀態的初值一開始均為正無窮，列舉\(s,i,j\)即可轉移，時間複雜度\(o(n^2*2^n)\)，目標狀態為\(f[n][(1<。

\(code:\)

#includeusing namespace std;

const int n=20;

int n,dis[n+5][n+5],f[n+5][(1<

《後記》

最短Hamilton路徑 upc 狀壓DP

題目描述 給定一張 n n 20 個點的帶權無向圖，點從 0 n 1 標號，求起點 0 到終點 n 1 的最短hamilton路徑。hamilton路徑的定義是從 0 到 n 1 不重不漏地經過每個點恰好一次。輸入第一行乙個整數n。接下來n行每行n個整數，其中第i行第j個整數表示點i到j的距離 乙個...

最短Hamilton路徑與狀壓DP

最短hamilton路徑的意思是遍歷一張圖，每個節點不重不漏的走過一次 不能多 這樣一種走法的最短路徑。這樣的一種問題可以通過狀態壓縮動態規劃來實現，其核心思想是以二進位制形式列舉各個點是否被走過的狀態，通過這些子狀態推得答案。如何設計這個方案呢？可以設dp陣列第一維指代當前點的經歷情況 這是二進位...

0103 最短Hamilton路徑 狀壓DP

描述 給定一張 n n 20 個點的帶權無向圖，點從 0 n 1 標號，求起點 0 到終點 n 1 的最短hamilton路徑。hamilton路徑的定義是從 0 到 n 1 不重不漏地經過每個點恰好一次。輸入格式 第一行乙個整數n。接下來n行每行n個整數，其中第i行第j個整數表示點i到j的距離 乙...