動態規劃 01揹包問題（通俗易懂，超基礎講解）

問題描述

有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8

i（物品編號） 1 2 3 4

w（體積） 2 3 4 5

v（價值） 3 4 5 6

總體思路

根據動態規劃解題步驟（問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關係式、填表、尋找解組成）找出01揹包問題的最優解以及解組成，然後編寫**實現。

動態規劃的原理

動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。

最優性原理是動態規劃的基礎，最優性原理是指「多階段決策過程的最優決策序列具有這樣的性質：不論初始狀態和初始決策如何，對於前面決策所造成的某一狀態而言，其後各階段的決策序列必須構成最優策略」。

揹包問題的解決過程

在解決問題之前，為描述方便，首先定義一些變數：vi表示第 i 個物品的價值，wi表示第 i 個物品的體積，定義v(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值，同時揹包問題抽象化（x1，x2，…，xn，其中 xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選）。

1、建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；

2、尋找約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxn3、尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：

包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即v(i,j)=v(i-1,j)；

還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝。

其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)，但價值增加了v(i)；

由此可以得出遞推關係式：

j=w(i) v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝

這裡需要解釋一下，為什麼能裝的情況下，需要這樣求解（這才是本問題的關鍵所在！）：

可以這麼理解，如果要到達v(i,j)這乙個狀態有幾種方式？

肯定是兩種，第一種是第i件商品沒有裝進去，第二種是第i件商品裝進去了。沒有裝進去很好理解，就是v(i-1,j)；裝進去了怎麼理解呢？如果裝進去第i件商品，那麼裝入之前是什麼狀態，肯定是v(i-1,j-w(i))。由於最優性原理（上文講到），v(i-1,j-w(i))就是前面決策造成的一種狀態，後面的決策就要構成最優策略。兩種情況進行比較，得出最優。

4、填表，首先初始化邊界條件，v(0,j)=v(i,0)=0；

然後一行一行的填表：

如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有jw(4)，故v(4,8)=max｛ v(4-1,8)，v(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10……

所以填完表如下圖：

5、**填完，最優解即是v(number,capacity)=v(4,8)=10。

**實現

為了和之前的動態規劃圖可以進行對比，儘管只有4個商品，但是我們建立的陣列元素由5個。

#includeusing namespace std;
#include int main()
; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = ; //商品的價值3、4、5、6
int ba** = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = }; //動態規劃表
for (int i = 1; i <= 4; i++) } 
//動態規劃表的輸出
for (int i = 0; i < 5; i++) 
cout << endl; } 
return 0;
}

揹包問題最優解回溯

通過上面的方法可以求出揹包問題的最優解，但還不知道這個最優解由哪些商品組成，故要根據最優解回溯找出解的組成，根據填表的原理可以有如下的尋解方式：

v(i,j)=v(i-1,j)時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到v(i-1,j)；

v(i,j)=v(i-1,j-w(i))+v(i)時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到v(i-1,j-w(i))；

一直遍歷到i＝0結束為止，所有解的組成都會找到。

就拿上面的例子來說吧：

最優解為v(4,8)=10，而v(4,8)!=v(3,8)卻有v(4,8)=v(3,8-w(4))+v(4)=v(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被選中，並且回到v(3,8-w(4))=v(3,3)；

有v(3,3)=v(2,3)=4，所以第3件商品沒被選擇，回到v(2,3)；

而v(2,3)!=v(1,3)卻有v(2,3)=v(1,3-w(2))+v(2)=v(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被選中，並且回到v(1,3-w(2))=v(1,0)；

有v(1,0)=v(0,0)=0，所以第1件商品沒被選擇。

**實現

揹包問題最終版詳細**實現如下：

#includeusing namespace std;
#include int w[5] = ; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = ; //商品的價值3、4、5、6
int ba** = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = }; //動態規劃表
int item[5]; //最優解情況
void findmax() }}
void findwhat(int i, int j) 
else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) }}
void print() 
cout << endl;
} cout << endl;
for (int i = 0; i < 5; i++) //最優解輸出
cout << item[i] << ' ';
cout << endl;} 
int main()

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