動態規劃 01揹包問題（通俗易懂，超基礎講解）

有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8

i（物品編號）12

34w（體積）23

45v（價值）34

56根據動態規劃解題步驟（問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關係式、填表、尋找解組成）找出01揹包問題的最優解以及解組成，然後編寫**實現。

動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。

最優性原理是動態規劃的基礎，最優性原理是指「多階段決策過程的最優決策序列具有這樣的性質：不論初始狀態和初始決策如何，對於前面決策所造成的某一狀態而言，其後各階段的決策序列必須構成最優策略」。

在解決問題之前，為描述方便，首先定義一些變數：vi表示第 i 個物品的價值，wi表示第 i 個物品的體積，定義v(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值，同時揹包問題抽象化（x1，x2，…，xn，其中 xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選）。

1、建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；

2、尋找約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxn3、尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：

其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)，但價值增加了v(i)；

由此可以得出遞推關係式：

這裡需要解釋一下，為什麼能裝的情況下，需要這樣求解（這才是本問題的關鍵所在！）：

可以這麼理解，如果要到達v(i,j)這乙個狀態有幾種方式？

肯定是兩種，第一種是第i件商品沒有裝進去，第二種是第i件商品裝進去了。沒有裝進去很好理解，就是v(i-1,j)；裝進去了怎麼理解呢？如果裝進去第i件商品，那麼裝入之前是什麼狀態，肯定是v(i-1,j-w(i))。由於最優性原理（上文講到），v(i-1,j-w(i))就是前面決策造成的一種狀態，後面的決策就要構成最優策略。兩種情況進行比較，得出最優。

4、填表，首先初始化邊界條件，v(0,j)=v(i,0)=0；

然後一行一行的填表：

所以填完表如下圖：

5、**填完，最優解即是v(number,capacity)=v(4,8)=10。

為了和之前的動態規劃圖可以進行對比，儘管只有4個商品，但是我們建立的陣列元素由5個。

#include

using
namespace
std;
#include
intmain
() 
; 
//商品的體積2、3、4、5
int v[
5] = ; 
//商品的價值3、4、5、6
int ba** = 
8; 
//揹包大小
int dp[
5][9] = }; 
//動態規劃表
for (
int i = 
1; i <= 
4; i++) 
}//動態規劃表的輸出
for (
int i = 
0; i < 
5; i++) 
cout
<< 
endl;
}return
0; 
}

就拿上面的例子來說吧：

揹包問題最終版詳細**實現如下：

#include

using
namespace
std;
#include
int w[
5] = ; 
//商品的體積2、3、4、5
int v[
5] = ; 
//商品的價值3、4、5、6
int ba** = 
8; 
//揹包大小
int dp[
5][9] = }; 
//動態規劃表
int item[
5]; 
//最優解情況
void
findmax
() }}
void
findwhat
(int i, int j)
else
if (j - w[i] >= 
0 && dp[i][j] == dp[i - 
1][j - w[i]] + v[i]) }}
void
print
() 
cout
<< 
endl;
}cout
<< 
endl;
for (
int i = 
0; i < 
5; i++) 
//最優解輸出
cout
<< item[i] << 
' ';
cout
<< 
endl;
}int
main
() 

動態規劃 01揹包問題（通俗易懂，超基礎講解）

問題描述 有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即 eg number 4，capacity 8 i 物品編號 1 2 3 4 w 體積 2 3 4 5 v 價值 3 4 5 6 總體思...

動態規劃 01揹包問題（通俗易懂，超基礎講解）

問題描述 有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即 eg number 4，capacity 8 i 物品編號 1 2 3 4 w 體積 2 3 4 5 v 價值 3 4 5 6 總體思...

動態規劃 01揹包問題（通俗易懂，超基礎講解）

我只是來單純學習怎麼寫部落格的，嘿嘿 有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即 eg number 4，capacity 8 i 物品編號 12 34w 體積 23 45v 價值 34 ...